Die Fachsprache der Mathematik

Überblick

0. Prolog
1. Was ist Mathematik?
2. Die drei Grundkonzepte des Universums der Mathematik
3. Was ist ein mathematisches Modell?
4. Die Begriffe der Mathematik und ihre Bedeutung
4.1. Natürliche Sprache und Fachsprache
4.2. Metasprache und Objektsprache
4.3. Gebrauch der Symbole im MSM
5. Variable
6. Terme und ihre Bedeutung
7. Atomare Aussagen und ihre Bedeutung
8. Junktoren und ihre Bedeutung
9. Quantoren und ihre Bedeutung
10. Die sechs Grundbausteine der Fachsprache
11. Die Einführung von Begriffen
12. Das Gleichheitszeichen
13. Mathematische Sprachkultur
14. Ausblick
15. Das MSM-Skriptum zum Thema Fachsprache
15.1. Inhaltsverzeichnis
15.2. Eine Kostprobe

0. Prolog

Dieser Text ist mein Einstiegsgeschenk. Es liegt in der Natur des Themas, dass die folgende Erstinformation vom Anfänger vermutlich als sehr anstrengend empfunden und ihm höchste Konzentration abverlangen wird. In meinem Bemühen, die Anstrengung durch viele Intuitionen (lateinisch: intueor, hineinschauen) zu lindern, ist eine erste Einführung in das Thema entstanden, die eine Diskussionsgrundlage für eine erste Seminareinheit sein soll.

1. Was ist Mathematik?

Diese Frage kann nicht zwingend beantwortet werden, weil es vermutlich so viel Sichtweisen von Mathematik gibt, wie es Mathematiker gibt.

Für mich persönlich ist die folgende Sichtweise hilfreich, welche im Buch [Buchberger Bruno, Lichtenberger Franz, Mathematik für Informatiker I, Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1980] wissenschaftlich aufgearbeitet ist. Davon inspiriert erlebe ich Mathematik als eine Art ″Fabelwelt″ (Ideenwelt, Kunstwelt), d.h. als ein von Menschen erdachtes (oder entdecktes?) Universum, welches als uraltes Kulturgut weltweit vererbt und weiterentwickelt wird. Dieses Universum existiert als Gedankenwelt nur im Gehirn solcher Menschen, die Mathematik entwickeln, studieren oder anwenden und es entzieht sich den menschlichen Sinnesorganen. Man kann es nur erfahren, indem man darüber nachdenkt oder spricht (Sprechen ist konkreter Ausfluss des Denkens).

Die in obiger Klammer angedeutete Frage, ob das Universum der Mathematik von den Menschen erfunden oder entdeckt wird, habe ich erst nach einer kritischen Bemerkung eines Lesers ergänzt. In der von mir im MSM präsentierten Sichtweise ist das Erlernen oder Kennenlernen oder Entdecken der mathematischen Gedankenwelt unabhängig von einem philosophischen oder gar ideologischen Standpunkt bezüglich dieser Frage.

2. Die drei Grundkonzepte des Universums der Mathematik

In der von den Sinnen erfahrbaren physikalischen ″realen″ Welt findet man

  • Objekte (Gegenstände)
  • Vorgänge, die aus vorhandenen Objekten genau ein neues Objekt erzeugen oder, anders formuliert, vorhandenen Objekten genau ein neues Objekt zuordnen
  • Beziehungen, welche zwischen vorhandenen Objekten bestehen können oder nicht.

Diese drei Wahrnehmungen haben sich im Laufe der Jahrtausende alten Kulturgeschichte des Menschen in einem Prozess der Abstrahierung als Grundkonzepte zum Aufbau des Universums der Mathematik herauskristallisiert. Rome was not built in a day!

In der Ideenwelt der Mathematik heißt

  • ein (Denk-) Objekt auch Individuum, z.B. eine Zahl, eine Menge, ein Punkt, …
  • ein solcher Vorgang, der auf vorhandene Individuen angewendet werden kann und (aus) ihnen genau ein neues Individuum zuordnet (erzeugt), auch Funktion, z.B. das Wurzelziehen, das Addieren, …
  • eine gedachte Beziehung, welche, angewendet auf (d.h. betrachtet für) vorhandene Individuen bestehen kann oder nicht, auch Prädikat, z.B. die Primzahl-Eigenschaft, die Kleiner-Beziehung, …

In dem Moment, wo eine Funktion bzw. ein Prädikat auf vorhandene Individuen angewendet wird, heißt jedes dieser Individuen auch ein Argument der Funktion bzw. des Prädikats.

Das Individuum, welches vorhandenen Argumenten durch die Anwendung einer Funktion eindeutig zugeordnet wird, heißt auch der Funktionswert dieser Argumente.

In der Mathematik werden die drei Grundkonzepte Individuum, Funktion und Prädikat nicht weiter erklärt. Es wird erwartet, dass jeder, der Mathematik betreibt, bereits eine Vorstellung darüber besitzt. Man kann über diese Konzepte nur sprechen, aber man kann sie grundsätzlich nicht auf einfachere Konzepte zurückführen.

3. Was ist ein mathematisches Modell?

Ein reales Problem in der von den Sinnen erfassbaren Welt kann man oft mit der im Folgenden skizzierten Methode der Mathematik in drei Schritten lösen:

(1) Modellieren

Wenn es gelingt, den für das reale Problem betrachteten Ausschnitt der realen Welt durch Vereinfachung und Idealisierung auf den ″wesentlichen Aspekt″ (d.h. auf die Voraussetzungen, welche zur Lösung des Problems wesentlich sind) zu reduzieren, kann man

  • die realen Dinge durch adäquate (passende, geeignete) Individuen im Universum der Mathematik austauschen,
  • reale Vorgänge durch geeignete Funktionen austauschen,
  • reale Beziehungen durch geeignete Prädikate austauschen.

Nach einem solchen Austausch spricht man nicht mehr über real mit den Sinnen erfassbare Dinge, sondern über ″Fabelwesen″ im Universum der Mathematik. Der betrachtete Ausschnitt der realen Welt wird sozusagen in einen Ausschnitt der Fabelwelt übersetzt. Diesen übersetzten Ausschnitt im Universum der Mathematik nennt man ein mathematisches Modell des betrachteten Ausschnitts der realen Welt. Die Tätigkeit des Übersetzens heißt auch Modellieren oder Modellbildung.

(2) Schließen

Das betrachtete reale Problem wird nun nicht durch Eingreifen in die reale Welt, sondern durch das Bearbeiten des Modells gelöst. Dieser Schritt heißt auch Schließen (z.B. Rechnen, Beweisen, … ).

(3) Anwenden

Die im Modell erarbeitete Lösung wird durch Anwenden (Rückübersetzen) zur Lösung in der realen Welt.

Der praktische Vorteil dieser Methode der Mathematik ist ihre Abstraktheit. Das Modell ist abstrakt (lateinisch: abstrahere, loslösen), d.h. losgelöst von der realen Welt. Daher kann man im Modell experimentieren, ohne mit teurem Aufwand in die reale Welt eingreifen und sie möglicherweise dadurch verändern zu müssen. Somit ist Mathematik auch eine mächtige Technik des rationalen Problemlösens und ist deshalb Bestandteil jedes MINT-Studiums.

4. Die Begriffe der Mathematik und ihre Bedeutung

4.1. Natürliche Sprache und Fachsprache

Unsere reale Welt beschreiben wir mit der von Kind an durch Üben erlernten (gesprochenen, geschriebenen, gezeichneten, … ) natürlichen Sprache. Umso mehr kann das nicht mit den Sinnen erfassbare, nur im Gehirn von Mathematikern vorkommende Universum der Mathematik, welches auch als Modell für die reale Welt dient, nur mit Hilfe einer sprachlichen Beschreibung erfahren werden.

  • Mit der natürlichen Sprache beschreiben wir die real erfahrbare physikalische Welt. Die Ideenwelt des Universums der Mathematik beschreiben wir mit der Fachsprache.

Die drei Grundkonzepte, nämlich Individuen, Funktionen und Prädikate, beschreibt man in der Fachsprache so, dass man über sie mithilfe von Namen spricht. Als Namen dienen gewisse Symbole (Zeichen, Zeichenreihen), welche man die Begriffe des mathematischen Universums nennt. Die Begriffe sind Grundbausteine der Fachsprache.

  • Namen für einzelne (konstant) vorgegebene Individuen heißen auch Individuenkonstante (im MSM mit IK abgekürzt). Das Wort ″Individuenkonstante″ ist insofern selbsterklärend.
  • Namen für einzelne (konstant) vorgegebene Funktionen heißen auch Funktionskonstante (im MSM mit FK abgekürzt). Das Wort ″Funktionskonstante″ ist insofern selbsterklärend.
  • Namen für einzelne (konstant) vorgegebene Prädikate heißen auch Prädikatenkonstante (im MSM mit PK abgekürzt). Das Wort ″Prädikatenkonstante″ ist insofern selbsterklärend.
  • Die Stelligkeit einer Funktion ist die Anzahl ihrer Argumente. Diese Anzahl heißt auch Stelligkeit der die Funktion bezeichnenden FK.
  • Die Stelligkeit eines Prädikats ist die Anzahl seiner Argumente. Diese Anzahl heißt auch die Stelligkeit der das Prädikat bezeichnenden PK.
  • Eine IK kann auch als 0-stellige FK aufgefasst werden (als Name eines Individuums, das ohne Erzeugung durch eine Funktion als schon vorhanden betrachtet wird).
  • Eine einstellige PK bezeichnet eine Eigenschaft (eine ″Beziehung″, die ein Individuum ″zu sich selbst″ hat).

Ein Begriff (d.h. eine IK oder FK oder PK) ist für sich allein betrachtet als Zeichen oder Zeichenkette nur ein Schnörkel ohne Bedeutung. Er erhält seine Bedeutung erst durch seinen Gebrauch. Genauer gesagt ist die Bedeutung (auch Semantik genannt) einer IK bzw. FK bzw. PK das Individuum bzw. die Funktion bzw. das Prädikat, welches jeweils durch seinen Namen bezeichnet (zugeordnet) wird. Eine solche Zuordnung nennt man auch eine Interpretation.

4.2. Metasprache und Objektsprache

Die Fachsprache der Mathematik ist in dem Sinn eine Objektsprache, als sie die Objekte beschreibt, die sich in der Ideenwelt der Mathematik herumtummeln, mitsamt ihren Eigenschaften und gegenseitigen Beziehungen und den auf sie einwirkenden Vorgängen.

Die Fabelwelt, welche durch die Objektsprache beschrieben wird, ist unseren Sinnen entzogen und kein Teil der realen Welt. Hingegen ist die Objektsprache selbst mit ihren Symbolen sichtbar und man kann sie als Bestandteil der realen Welt sehr wohl mit der natürlichen Sprache beschreiben. Immer dann, wenn wir in der natürlichen Sprache über die Fachsprache sprechen, hat die natürliche Sprache die Rolle einer Metasprache (griechisch meta, über). In einer Metasprache spricht man nicht über Objekte, sondern über das Sprechen über Objekte.

In der Schule lernt man die Fachsprache der Mathematik durch Übung und Gewöhnung als eine manchmal schlecht verständlich empfundene Facette der natürlichen Sprache. Insbesondere wird einem Schüler kaum bewusst, dass man strikt ein Symbol von dem unterscheiden muss, was es bezeichnen soll, oder anders formuliert, dass Symbole ihre Semantik erst durch ihre Interpretation erhalten.

Im MSM wird die Fachsprache nicht als Teil der Umgangssprache aufgefasst, sondern als eine normierte Objektsprache. Dies soll heißen, dass präzise festgelegt und erklärt wird, welche sprachlichen Gebilde als ″sinnvoll″ zugelassen sind (Syntax) und welche Bedeutung sie haben sollen (Semantik). Diese Erklärungen erfolgen in der natürlichen Sprache als Metasprache.

4.3. Gebrauch der Symbole im MSM

Wenn wir im Folgenden mathematische Begriffe verwenden, haben diese immer die in der Schule gelernte übliche Semantik. Z.B. interpretieren wir in der Zeichenreiihe 0 + 1 = 1 die IK 0 und die IK 1 als natürliche Zahl, die 2-stellige FK + als Addition von zwei Zahlen und die 2-stellige PK = als die Beziehung der Gleichheit.

Es ist wichtig, aber auch anstrengend, auseinander zu halten, ob man ein Symbol auf der Objektebene oder auf der Metaebene benutzt. Im letzteren Fall (wenn man nicht über ein Objekt, sondern über das Symbol selbst spricht) setzt man manchmal das Symbol unter Anführungszeichen, um diese Anstrengung zu lindern, z.B.:

  • 0 ist die kleinste natürliche Zahl. (Objektebene)
  • Wir bezeichnen mit ″0″ die kleinste natürliche Zahl. (Metaebene)

Wenn aus dem Kontext klar ist, was gemeint ist, kann man sich solche Anführungszeichen natürlich sparen (so wie oben: Z.B. interpretieren wir in der Zeichenreihe 0 + 1 = 1 … ).

5. Variable

Zusätzlich zu den Begriffen ist noch eine andere Art von Namen, die man Variable nennt, ein unverzichtbarer Grundbaustein der Fachsprache.

Eine Variable kann in Zeichenreihen genau dort vorkommen, wo auch eine IK sein könnte und ist ein Namen für ein beliebiges (variables, d.h. nicht konstant vorgegebenes) Individuum aus einem betrachteten Laufbereich (Vorrat an Individuen). Wenn man z.B. sagt, ″x ist eine Variable über dem Laufbereich der natürlichen Zahlen″ bzw. ″x läuft über den natürlichen Zahlen″, dann meint man, dass das Symbol x eine beliebige natürliche Zahl bezeichnet. Darunter darf man sich vorstellen, dass x beliebig oft eine einzelne natürliche Zahl bezeichnen kann, d.h. dass man für x z.B. die IK 3 einsetzen könnte. Für die Einzelsituation einer solchen Einsetzung (Substitution) sagt man auch:

  • x wird mit 3 belegt oder x erhält die Belegung 3.

Wann immer man Variable verwendet, muss man den Laufbereich angeben. Oft ist der Laufbereich nur stillschweigend aus dem Kontext erkennbar.

6. Terme und ihre Bedeutung

Um das Universum der Mathematik zu beschreiben, muss man klarerweise über die dort als vorhanden betrachteten Individuen sprechen können. Dazu haben wir uns als Namen bereits Individuenkonstante und Variable zur Verfügung gestellt. Die Idee, wie man einen Funktionswert, d.h. ein Individuum, das von einer Funktion aus vorhandenen Argumenten erzeugt wird, bezeichnen soll, ist ebenso nahe liegend wie einfach:

  • Man schreibt zur FK, welche die Funktion bezeichnet, einfach die Namen der Argumente. Die so neu entstehende Zeichenreihe soll der Name des zugeordneten Funktionswerts sein. Die sprachliche Struktur, die so genannte Syntax dieser Zeichenreihe, bringt bereits die Anwendung der Funktion zum Ausdruck.

Wollen wir z.B. den Funktionswert, der durch die Anwendung der Funktion + auf die Argumente 2 und 3 entsteht, bezeichnen, schreiben wir zur 2-stelligen FK + die Namen der Argumente, also die IK 2 und die IK 3. Die so entstehende Zeichenreihe + ( 2 , 3 ) ist der Namen des Funktionswerts. Die Klammern und der Beistrich können hier als Hilfssymbole zur besseren Lesbarkeit und nicht als wesentlicher Bestandteil der Zeichenreihe gesehen werden. Der Name hat die Erscheinungsform einer so genannten Präfix-Notation (die FK steht vor, lateinisch prae, allen anderen Zeichen). In der Schule haben wir gelernt, diesen Namen auch in der Erscheinungsform 2 + 3 einer Infix-Notation zu schreiben.

Wir kennen jetzt also drei Typen von Namen, mit denen wir Individuen bezeichnen können, nämlich Individuenkonstante, Variable und Zeichenreihen, die syntaktisch aus einer FK und soviel Argument-Namen wie ihre Stelligkeit zusammengebaut sind. Künftig werden wir diese drei Namenstypen einheitlich auch Term nennen.

Die Argumente einer Funktion könnten ihrerseits bereits Funktionswerte sein, d.h. durch eine oder mehrere Funktionen erzeugt worden sein. Z.B. könnte man die 2-stellige Funktion : auf die Argumente + ( x , 7 ) und – ( 9 , y ) in dieser Reihenfolge anwenden. Um den Namen des dabei erzeugten Funktionswerts zu erhalten, schreiben wir, wie schon erklärt, zum Namen der Funktion die Namen der Argumente und erhalten den Term : [ + ( x , 7 ) , – ( 9 , y ) ] in Präfix-Notation bzw. den Term ( x + 7 ) : ( 9 – y ) in Infix-Notation.

Diese Terme besitzen trotz ihrer verschiedenen Notation die gleiche Syntax, nämlich die sprachliche Struktur einer Zeichenreihe, welche mit einer FK und soviel Termen wie ihre Stelligkeit zusammengebaut ist. Im Gegensatz zur Umgangssprache, wo man durch Üben lernt, welche aus Buchstaben zusammengebaute Wörter ″sinnvoll″ sind, ist in der Fachsprache durch die Syntax der Zeichenreihen präzise festgelegt, was ein Term sein darf (d.h. welche Zeichenreihen ″bedeutungstragend″ sein sollen). Wir fassen jetzt zusammen:

Terme sind Namen für Individuen.

  • Jede IK und jede Variable ist ein Term.
  • Jede Zeichenreihe mit der Syntax FK ( Term, …. , Term ), also mit einer FK und so viel Termen, wie ihre Stelligkeit verlangt, ist ein Term.

Dem Laien wird kaum auffallen, dass in der Erklärung dessen, was ein Term ist, selbst schon das Wort ″Term″ vorkommt. Dadurch ist es möglich, beliebig komplizierte Zeichenreihen als Terme zusammenzubauen. Eine solche Art der Erklärung nennt man induktiv und wird uns bei einem anderen Thema wieder begegnen.

Ein Term hat ebenso wie die Symbole, aus denen er zusammengebaut ist, als Zeichenwirrwar keine Semantik (Bedeutung). Erst nach der Interpretation der Begriffe (IK, FK) kann ein Term den Funktionswert bezeichnen. Präziser formuliert bezeichnet ein Term erst dann das Individuum, welches durch die Anwendung des mit der FK bezeichneten Vorgangs auf die mit den Termen bezeichneten Argumente erzeugt wird. Allerdings haben wir bereits vereinbart, die Begriffe in der von der Schule als ″üblich″ bekannten Interpretation zu gebrauchen.

Dennoch können wir z.B. mit dem Term ( x + 7 ) : ( 9 – y ) noch kein Individuum bezeichnen, weil er Variable (z.B. über dem Laufbereich der rationalen Zahlen) enthält.

  • Erst wenn man zusätzlich zur (üblichen) Interpretation der Begriffe eine Belegung der Variablen vorgenommen hat, erhält ein Term seine Semantik bzw. bezeichnet er ein bestimmtes Individuum.

Zum Beispiel bezeichnet der Term ( x + 7 ) : ( 9 – y ) für die Belegung von x mit 1 und die Belegung von y mit 5 das Individuum ( 1 + 7 ) : ( 9 – 5 ).

In der Schule haben wir gelernt, den Term ( 1 + 7 ) : ( 9 – 5 ) ″auszurechnen″, indem wir zuerst die Teilterme 1 + 7 bzw. 9 – 5 ″auswerten″, d.h. jeweils durch den Term 8 und den Term 4 ersetzen. Den so entstandenen neuen Term 8 : 4 ersetzt man schließlich durch den Term 2. Im Modul Beweisen des MSM lernt man, dass eine solche Termauswertung (″Rechnung″) eine einfache Art eines Beweises darstellt, nämlich den Beweis, dass die IK 2 das gleiche Individuum bezeichnet wie der Term ( 1 + 7 ) : ( 9 – 5 ).

7. Atomare Aussagen und ihre Bedeutung

Wenn man in der Umgangssprache eine Aussage macht, möchte man meistens einen in der realen Welt betrachteten ″Sachverhalt″ beschreiben. Solche Aussagen können durch Beobachtungen verifiziert (als gültig erkannt) oder falsifiziert (als nicht gültig erkannt) werden. Eine Aussage wird formuliert, indem man aus Wörtern einen ″sinnvollen″ Satz zusammenbaut. Dies lernt man so wie den Zusammenbau von Wörtern aus Buchstaben von Kind an durch Üben.

Im Universum der Mathematik besteht ein einfacher Sachverhalt darin, dass betrachtete Individuen in einer gewissen Beziehung stehen. Die sprachliche Beschreibung eines solchen Sachverhalts heißt auch in der Fachsprache eine (atomare) Aussage. Das Adjektiv ″atomar″ ist ein Hinweis, dass es sich um einen strukturell einfachsten Sachverhalt handelt.

Wollen wir z.B. beschreiben, dass die Individuen 2 + 3 und 6 in der Beziehung < stehen, schreiben wir einfach zur 2-stelligen PK < , welche das Prädikat bezeichnet, die zwei Terme 2 + 3 und 6, welche die Argumente bezeichnen und erhalten die atomare Aussage < [ ( 2 + 3 ) , 6 ] in Präfix-Notation bzw. die atomare Aussage 2 + 3 < 6 in Infix-Notation. Diese Aussagen besitzen trotz ihrer verschiedenen Notation die gleiche Syntax, nämlich die sprachliche Struktur einer Zeichenreihe, welche mit einer PK und soviel Termen wie ihre Stelligkeit zusammengebaut ist. Die Anwendung des Prädikats auf Argumente kommt (so wie bei der Anwendung einer Funktion auf Argumente) durch die Syntax der Zeichenreihe zum Ausdruck. Im Gegensatz zur Umgangssprache, wo man durch Üben lernt, welche aus Wörtern zusammengebauten Aussagen ″sinnvoll″ sind, ist in der Fachsprache durch die Syntax der Zeichenreihen präzise festgelegt, was eine atomare Aussage sein darf.

  • Jede Zeichenreihe mit der Syntax PK ( Term, …. , Term ), also mit einer PK und so viel Termen, wie ihre Stelligkeit verlangt, ist eine atomare Aussage.

Die Aussage 2 + 3 < 6 ist für sich allein nur ein Schnörkel ohne Bedeutung. Die Semantik einer Aussage entsteht erst nach der Interpretation der Terme 2 + 3 und 6 und der PK < , also relativ zur Interpretation aller in der Aussage vorkommenden Begriffe. Bei der schon vereinbarten üblichen Interpretation stehen die mit den Termen bezeichneten Argumente tatsächlich in der durch die PK bezeichneten Beziehung. Deshalb soll die atomare Aussage 2 + 3 < 6 den Wahrheitswert W(ahr) bezeichnen bzw. ist die Semantik der Aussage der Wahrheitswert W. Man sagt auch in Anlehnung an die Umgangssprache, dass die Aussage 2 + 3 < 6 (bei der üblichen Interpretation der Zeichen) gilt (oder wahr ist).

Eine Aussage, welche Variable enthält, nennt man manchmal auch eine Aussageform, z.B. x + 3 < 6 . Eine Aussageform hat erst dann eine Bedeutung, wenn man zusätzlich zur (üblichen) Interpretation der Begriffe auch eine Belegung der Variablen vornimmt. Wenn man x mit 1 belegt, gilt diese Aussage bzw. bedeutet diese Aussage den Wahrheitswert W. Wenn man x mit 5 belegt, gilt diese Aussage nicht bzw. ist sie falsch bzw. bezeichnet diese Aussage den Wahrheitswert F(alsch).

Statt der Symbole W bzw. F für die Wahrheitswerte einer Aussage könnte man auch beliebige andere Symbole verwenden. Die an die Umgangssprache angelehnte Sprechweise ″wahr″ bzw. ″falsch″ sollte nicht suggerieren, dass man mit einer wahren Aussage im Besitz einer ″Wahrheit″ in einem philosophischen oder ethischen Sinn ist.

  • Die Semantik einer Aussage, nämlich ihr Wahrheitswert, ergibt sich erst relativ zu einer vereinbarten Interpretation der in ihr vorkommenden Begriffe und einer Belegung der in ihr vorkommenden Variablen.

In der Schule sind wir Aussagen (in der Fachsprache nennt man Aussagen auch Formeln) mit Variablen begegnet, die wir (neben der von Kind an durch Üben gelernten üblichen Interpretation der Begriffe) auch ohne vorherige Belegung der Variablen als wahr akzeptieren und lernen mussten, z.B. der binomischen Formel a² – b² = ( a – b) ( a + b ).

  • Wann immer behauptet wird, dass eine Aussage(form) mit Variablen gilt (wahr ist, den Wahrheitswert W bedeutet), ist stillschweigend vereinbart, dass diese Aussage für jede mögliche Belegung der Variablen aus ihrem Laufbereich wahr sein muss.

8. Junktoren und ihre Bedeutung

In der Umgangssprache kennen wir für gewisse Beschreibungen die Bindewörter nicht … , … und … , … oder … , wenn … dann, … genau dann wenn … , welche schon gebildete Sätze zu neuen Sätzen verbinden. Ihre Bedeutung haben wir durch Üben gelernt.

Diese Bindewörter werden auch in der Fachsprache als Grundbausteine, welche schon vorhandene Aussagen zu neuen Aussagen verbinden, benutzt und heißen dort Junktoren (lateinisch: iungere, verbinden). Die neuen Aussagen heißen Junktoraussagen.

Man sollte die Junktoren der Fachsprache von den entsprechenden Bindewörtern der Umgangssprache auseinander halten, auch wenn ihre Bedeutung und Bezeichnung jeweils weitgehend übereinstimmt. Die Bindewörter dienen zur Beschreibung der realen Welt und werden durch Üben erlernt, die Junktoren dienen zur Beschreibung der Fabelwelt. Die Bedeutung der Junktoren wird nicht durch Üben gelernt, sondern exakt festgesetzt, und zwar so, dass sie zur Beschreibung des Universums der Mathematik nützlich sind. Die folgenden Festsetzungen und Fachausdrücke für Junktoraussagen sollte man sich merken:

Die Symbole A bzw. B sollen in diesem Kontext für Aussagen stehen, die je nach Interpretation der Begriffe und Belegung der Variablen wahr oder falsch sein können.

  • Eine Aussage der Gestalt nicht A (kurz: ¬ A) heißt Negation. ¬ A hat den entgegengesetzten Wahrheitswert wie A.
  • Eine Aussage der Gestalt A und B (kurz: A ∧ B) heißt Konjunktion. A ∧ B ist nur wahr, wenn A wahr ist und auch B wahr ist.
  • Eine Aussage der Gestalt A oder B (kurz: A ∨ B) heißt Disjunktion. A ∨ B ist nur falsch, wenn A falsch ist und auch B falsch ist.
  • Eine Aussage der Gestalt wenn A dann B (kurz: A ⇒ B) heißt Implikation. A ⇒ B ist nur falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist.
  • Eine Aussage der Gestalt A genau dann wenn B (kurz: A ⇔ B) heißt Äquivalenz. A ⇔ B ist nur wahr, wenn A den gleichen Wahrheitswert wie B hat.

Nach obiger Festsetzung müssen wir z.B. die Implikation ″Wenn 2 + 2 = 5, dann ist 7 eine Primzahl″ und auch die Implikation ″2 + 2 = 5 ⇒ 8 ist eine Primzahl″ als wahr akzeptieren. Dass dies nützlich sein soll, entzieht sich der Vorstellungskraft der meisten Studienanfänger. Darüber wird im MSM gründlich diskutiert.

9. Quantoren und ihre Bedeutung

Die Aussage ( x = 0 ), z.B. über natürliche Zahlen, ist falsch. Sonst müsste sie wegen der Vereinbarung im letzten Absatz des Abschnitts 7. für jede mögliche Belegung von x wahr sein, was aber offensichtlich nicht der Fall ist. Der Junktor nicht erzeugt hier schon wieder eine falsche Aussage, nämlich ¬ ( x = 0 ). Wegen der oben zitierten Vereinbarung würden wir nämlich behaupten, dass jede Belegung für x verschieden von 0 ist, was aber für die Belegung 0 nicht stimmt. Dies scheint auf den ersten Blick widersprüchlich, weil doch die Negation der falschen Aussage ( x = 0 ) wahr sein müsste. Das Dilemma löst sich auf, wenn man bedenkt, dass ¬ ( x = 0 ) gar nicht die Negation von ( x = 0 ) ist, sondern die Negation von ( für alle x gilt, dass x = 0 ). Man muss hier die bisher nur stillschweigend getroffene Vereinbarung mit einbeziehen und sichtbar zum Ausdruck bringen. Dies gelingt mithilfe der aus der Umgangssprache entlehnten Wortgruppe für alle. Deshalb fügt man der Fachsprache diese Zeichenreihe als neuen Grundbaustein hinzu und nennt sie den Allquantor.

Das Sprachmittel des Allquantors kennzeichnet die Variable x als ″gebunden″ und macht aus der atomaren Aussage ( x = 0 ) die neue so genannte Allaussage ( für alle x gilt x = 0 ), kurz ( ∀x : x = 0 ). In dieser Allaussage hat es keinen Sinn, für x eine IK einzusetzen, z.B. ( ∀5 : 5 = 0 ). Deshalb sagt man, die Variable x, welche in der atomaren Aussage ( x = 0 ) noch ″frei″ (für eine Belegung) ist, wird durch den Allquantor gebunden (für eine Belegung gesperrt). Die Negation ¬ ( ∀x : x = 0 ) der falschen Aussage ( ∀x : x = 0 ) ist natürlich wahr.

Die Syntax und Semantik des Allquantors setzen wir in Übereinstimmung mit der natürlichen Sprache gleich allgemein fest: Wir betrachten eine Aussage A mit der einzigen freien Variablen x, d.h. allfällige sonstige (freie) Variable in A denken wir uns belegt.

  • Wenn man den Allquantor ∀ auf A wirken lässt, kennzeichnet er die Variable x und macht aus der Aussage A die Allaussage ( ∀x : A ), in welcher die gekennzeichnete Variable x gebunden ist.
  • Die Allaussage ( ∀x : A ) bezeichnet den Wahrheitswert W, wenn für jede mögliche Belegung von x die Aussage A gilt und sonst den Wahrheitswert F.
  • Die Vereinbarung im letzten Absatz des Abschnitts 7. kann jetzt so formuliert werden:
    Allquantoren, die in Aussagen ganz links stehen, können zur Abkürzung weggelassen werden.

Eine Negation der Gestalt ¬ ( x = 0 ) kürzt man auch mit x ≠ 0 ab. Man versteht sofort intuitiv, dass man ¬ ( ∀x : x = 0 ) in die dazu gleichbedeutende Aussage ( es existiert ein x, sodass x ≠ 0 gilt ), kurz ( ∃x : x ≠ 0 ), umformulieren kann, weil z.B. 1 ≠ 0 gilt. Es erweist sich als praktisch, in der Fachsprache neben dem Allquantor ∀ die der Umgangssprache entlehnte Wortgruppe es existiert als sprachlichen Grundbaustein einzuführen und Existenzquantor ∃ zu nennen. Die allgemeine Festsetzung der Syntax und Semantik des Existenzquantors erfolgt analog zum Allquantor in Übereinstimmung mit der natürlichen Sprache:

Wir betrachten eine Aussage A mit der einzigen freien Variablen x, d.h. allfällige sonstige (freie) Variable in A denken wir uns belegt.

  • Wenn man den Existenzquantor ∃ auf A wirken lässt, kennzeichnet er die Variable x und macht aus der Aussage A die Existenzaussage ( ∃x : A ), in welcher die gekennzeichnete Variable x gebunden ist.
  • Die Existenzaussage ( ∃x : A ) bezeichnet den Wahrheitswert W, wenn man mindestens eine Belegung für x finden kann, sodass A bei dieser Belegung gilt und sonst den Wahrheitswert F.

Allaussagen bzw. Existenzaussagen nennt man einheitlich auch Quantoraussagen. Wir werden im MSM noch weitere nützliche Quantoren (Sprachmittel, welche freie Variable als gebunden kennzeichnen) kennen lernen, deren Bedeutung man auf die Bedeutung des Existenzquantors bzw. Allquantors zurückführen könnte.

10. Die sechs Grundbausteine der Fachsprache

Es wurden nun im Zeitraffer 6 sprachliche Grundbausteine für das Universum der Mathematik vorgestellt:

  • Individuenkonstante
  • Funktionskonstante
  • Prädikatenkonstante
  • Variable
  • Junktoren
  • Quantoren

Es hat sich im Laufe der Geschichte der Mathematik herausgestellt, dass diese sechs Grundbausteine ausreichen, um durch eine passende Kombination beliebige Sachverhalte im Universum der Mathematik beschreiben zu können. Das ist nicht selbstverständlich und hat weitreichende Konsequenzen:

Die Fachsprache der Mathematik ist sehr präzise und exakt, weil man sich nur auf die Syntax und Semantik von wenigen Sprachbausteinen einigen muss. Dies wird von manchen Menschen geschätzt und ist bei vielen Menschen gefürchtet.

Wegen der sehr begrenzten Anzahl der Sprachmittel ist die Fachsprache sehr karg. Im Universum der Mathematik können nur im weitesten Sinn ″technische″ Aspekte der realen Welt modelliert werden. Es wird z.B. niemandem einfallen, in der Sprache der Mathematik ein Liebesgedicht zu verfassen.

Wenn man zur Lösung eines realen Problems auf den Dreischritt Modellieren → Schließen → Anwenden im Rahmen der Methode der Mathematik zurückgreift, kann die Lösung auch im Sinne der Formulierung eines Lösungsverfahrens (Algorithmus) aufgefasst werden. Grundsätzlich würden die bereits vorgestellten ″deskriptiven″ (lateinisch: describere, beschreiben) sprachlichen Grundbausteine auch zur Formulierung beliebiger Algorithmen ausreichen. Auf Computern implementierte zusätzliche algorithmische Sprachbausteine zur Formulierung von Programmen sind nicht Thema dieses Moduls.

11. Die Einführung von Begriffen

Wann immer man ein Teilgebiet des mathematischen Universums erklären (aufbauen, lernen) will, braucht man eine Anzahl von Begriffen (IK, FK, PK), um über die Individuen, Funktionen und Prädikate dieser gedachten Fabelwelt überhaupt reden zu können.

Wenn man z.B. eine Behauptung über Primzahlen verstehen will, muss man wissen, was eine Primzahl ist. Zu diesem Zweck kann man die Bedeutung der einstelligen PK ist prim, welche die Eigenschaft einer natürlichen Zahl ( ≠ 0 ), eine Primzahl zu sein, bezeichnet, schrittweise auf die Bedeutung einfacherer Begriffe zurückführen bzw. umgekehrt aus einfacheren Begriffen aufbauen (ableiten). Dies gelingt mithilfe von Aussagen, deren Gültigkeit man sich wünscht (annimmt, voraussetzt), aber die eine ganz bestimmte Syntax besitzen müssen. Solche Aussagen nennt man Definitionen, z.B.:

  • Definition:
    a ist prim ⇔ a hat keinen echten Teiler
    • ″a hat keinen echten Teiler″ ist eine umgangssprachliche Abkürzung für ¬ ( ∃t : t ist echter Teiler von a ).
    • ″ist echter Teiler von″ ist eine 2-stellige PK.
    • Die Bedeutung von ″ist prim″ wird auf die Bedeutung von ″ist echter Teiler von″ zurückgeführt.
  • Definition:
    t ist echter Teiler von a ⇔ ( t ist Teiler von a ) ∧ ( t ≠1 ∧ t ≠ a ).
    • ″ist Teiler von″ ist eine 2-stellige PK.
  • Definition:
    x ist Teiler von y ⇔ ( ∃z : y = z · x )
  • etc. etc.

Bei der schrittweise Zerlegung von Begriffen mithilfe von Definitionen kommt man zwangsweise an ein Ende. Irgendwelche Begriffe müssen als nicht mehr auf einfachere Begriffe zurückführbar akzeptiert werden.

Die Begriffe, die man nicht mehr auf einfachere zurückführen möchte, heißen Grundbegriffe. Ihre Bedeutung, d.h. was diese Namen überhaupt bezeichnen sollen, kann man nur umschreiben, indem man eine Anzahl von Aussagen, in denen diese Begriffe vorkommen, als wahr annimmt (voraussetzt, sich wünscht). Diese Aussagen heißen Axiome und beschreiben das Zusammenspiel der Grundbegriffe. Axiome können jede beliebige syntaktische Struktur besitzen.

Axiome sind eine Art Spielregel für überhaupt zulässige Interpretationen der Grundbegriffe. Man muss man sich sozusagen damit abzufinden, dass man Axiome als wahr annehmen muss und dass man dann mit den Grundbegriffen nur mehr solche Individuen, Funktionen und Prädikate bezeichnen darf, welche die Axiome wahr machen.

Ohne die Technik des Definierens wäre ein ökonomisches Sprechen nicht möglich. Definitionen können als Axiome mit einer speziellen Syntax aufgefasst werden. Es gibt drei Grundtypen von Definitionen, deren spezielle Syntax im MSM exakt erklärt und trainiert wird. Wenn man sich streng an diese Syntax hält, können Definitionen keinen Widerspruch zu den anderen Axiomen herbeiführen.

12. Das Gleichheitszeichen

Das Gleichheitszeichen = ist eine 2-stellige PK, welche die Beziehung der Gleichheit von zwei Individuen bezeichnet. Weil diese Beziehung in allen Teilbereichen der Mathematik eine Rolle spielt, führt man ein für alle Mal im gesamten Universum der Mathematik das Gleichheitszeichen als Grundbegriff ein. Seine Bedeutung wird durch die folgenden sehr einleuchtenden Axiome geregelt (x, y, z sind Variable über jeweils dem gleichen aber beliebigen Laufbereich):

  • x = x ″Reflexivität″
  • x = y ⇒ y = x ″Symmetrie″
  • x = y ∧ y = z ⇒ x = z ″Transitivität″

Eine atomare Aussage s = t , wo s und t beliebige Terme sind, heißt Gleichung. Sie bezeichnet den Wahrheitswert W, falls s und t das gleiche Individuum bezeichnen, und sonst den Wahrheitswert F.

13. Mathematische Sprachkultur

Es gibt in der Fachsprache zwar erstaunlich wenig sprachliche Grundbausteine und eine präzise festgelegte Syntax und Semantik der als ″sinnvoll″ (bedeutungstragend) zugelassenen Zeichenreihen, aber eine große Vielfalt von Erscheinungsformen und Abkürzungen für mathematische Symbole und Zeichenketten. Die Art einer gewählten Erscheinungsform nennt man die Notation.

Die gewählte Notation hängt vom Geschmack desjenigen ab, der Mathematik formuliert. Die Mathematik selbst ist jedoch unabhängig von Notation. Viele bevorzugen möglichst umgangssprachliche Verklausulierungen, d.h. gewisse Teilzeichenreihen der Umgangssprache übernehmen die Rolle der sprachlichen Grundbausteine der Fachsprache. Andere mögen lieber eine ″ formale″ Notation, d.h. Zeichenreihen mit prägnanten kurzen Symbolen für die sprachlichen Grundbausteine und wenig Umgangssprache.

Ganz gleich, ob eine eher umgangssprachlich verklausulierte oder mehr formale Notation vorliegt, sind mathematische Formulierungen umso klarer, desto besser ihre logische Struktur erkennbar ist.

  • Die logische Struktur einer mathematischen Formulierung ist die Art und Weise, wie die Formulierung syntaktisch nur mit den sprachlichen Grundbausteinen der Fachsprache zusammengebaut werden könnte.

Weil man in der Schule und auch in weiterführenden Bildungseinrichtungen die Fachsprache der Mathematik überwiegend so lernt wie die Umgangssprache, nämlich durch Üben von Kind an, lernen viele Menschen logische Strukturen wenn überhaupt nur unbewusst.

14. Ausblick

Das Erkennen der logischen Struktur beliebiger mathematischer Formulierungen ist eine Fähigkeit, die jeder Mensch braucht, der Mathematik nicht nur mechanisch anwenden, sondern auch tiefer verstehen möchte.

Ein Studienanfänger wird auch nach dem Pauken von sehr viel Lehrstoff kaum bewusst mitbekommen, dass z.B. eine Aussage der Gestalt ″es existiert höchstens ein x , sodass A gilt″ gar keine Existenzaussage darstellt, geschweige denn, wie man eine solche Aussage beweisen soll.

Das im MSM trainierte Beherrschen der Fachsprache mit ihren logischen Strukturen ist auch die Voraussetzung für die Fähigkeit, beliebige Beweise nachvollziehen zu können.

15. Das MSM-Skriptum zum Thema Fachsprache

15.1. Inhaltsverzeichnis
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15.2. Eine Kostprobe
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